El misterioso número de oro

Quizá a algunos lectores les haya resultado todavía un tanto complicado entender lo que es la Proporción dorada, tema que trata el artículo previo a éste. Por eso, inspirado en un excelente libro que tuve ocasión de consultar, que explica de forma muy simple este asunto, me decidí a redactar esta Segunda parte, para dar una suerte de "segunda explicación", y así comprender mejor el tema.

La Proporción Dorada o Áurea es, como su nombre lo dice, una Proporción o Relación existente entre los elementos de una Figura Geométrica; por ejemplo, una línea A, que dividimos en dos segmentos B y C, B es el mayor y C el menor, y la proporción entre la recta A y el segmento mayor B, es la misma que la proporción entre el segmento mayor B y el segmento menor C.
Matemáticamente, este concepto se entiende mejor, y fue formulado de manera extensa por el científico renacentista Lucca Paccioli en su libro La Divina Proporción (publicado en 1509); dando con la fórmula del llamado número de oro, que es precisamente el número que expresa la Proporción Dorada:

"A quien se le dijera: hazme dos partes de 10, tales que multiplicada una de ellas por 10 dé lo mismo que la otra multiplicada por sí misma, operando en este caso y en otros similares los datos aportados en la práctica especulativa llamada álgebra y almucabala por otro nombre y la regla que sobre esta cuestión damos, encontraría como solución que una parte, la menor, es 15 menos la raíz de 125, y la otra, la mayor, la raíz de 125 menos 5"

Aquí están las fórmulas:
Parte menor = 15-√125=3.81967
Parte mayor = √125-5=6.18033
La parte menor se multiplica por 10, 3.81967X10=38.196
Y lo mismo se obtiene multiplicando la mayor por sí misma: 6.18033X6.18033=38.196

Esta fórmula de Paccioli permite desarrollar el número de oro a partir de considerar que:
3.81967+6.18033=10, que dividimos entre 10 para calcular con mayor facilidad=
0.381967+0.618033=1
Luego dividimos 1/0.618033=1.618033, que es el número dorado, y que resulta también si dividimos el segmento mayor entre el menor:
0.618033/0.381967=1.618033

Usando este número de oro podemos crear rectángulos, triángulos, cualquier figura geométrica donde se cumpla esta relación: Por ejemplo, un rectángulo de una base cualquiera, por ejemplo, 9.5 centímetros. Simplemente la dividimos por el número de oro, 9.5/1.618=5.871 centímetros. Entonces, si construimos un rectángulo con base 9.5 cm. y 5.871 de altura, estamos construyendo lo que se llama un rectángulo dorado, es decir, un rectángulo que tiene Proporción Dorada o Áurea.

Representado por la letra griega FI (φ), este número misterioso posee propiedades especiales, por ejemplo:
φXφ=φ+1
φ-1=1/φ
φXφXφ=[(φ+1)/(φ-1)]

La Serie de Fibonacci

Ya lo mencionamos en el artículo anterior; Leonardo Fibonacci de Pisa, matemático medieval, descubrió esta Serie de números al serle planteado un problema sobre la crianza de conejos, ¿Cuántas parejas de conejos pueden ser producidos por una pareja en un año, si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que desde el segundo mes se hace productiva?
Leonardo halló la respuesta mediante una tabla que le daba los resultados por cada mes, y juntando sus números, formó su Serie, que va: 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377 y así hasta el infinito.

Se preguntarán, como me pregunté yo, ¿Y qué tiene de especial eso?
Pues aunque Leonardo no se percató, tiempo después otros matemáticos analizaron su serie, y descubrieron que cada término de la serie es la suma de los dos precedentes:
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
5+8=13
y así... y así... y así. Pero lo verdaderamente interesante de la serie de Fibonacci es que la división de sus términos se aproxima al número de oro, dividiendo cada cifra entre su anterior, obviamente conforme la serie avanza, la aproximación es mayor:
8/5=1.60
13/8=1.625
21/13=1.615
34/21=1.616
55/34=1.617
89/55=1.618
144/89=1.618

El número de oro se encuentra en toda la Serie de Fibonacci, y la Serie de Fibonacci se encuentra en la naturaleza, el universo y el mismo cuerpo humano:
La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la Serie de Fibonacci: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente. El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza. En el cuerpo humano podemos decir que la cabeza es 1, el cuello, 1, los brazos (2), brazo, antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5), es decir, la sucesión de Fibonacci hasta el 5. Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica. La espiral logarítmica, por ejemplo, es una curva que ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.
En una espiral logarítmica, la distancia entre las espiras aumenta constante y armónicamente hacia afuera, siguiendo la Serie de Fibonacci; y la espiral basada en la sección áurea está también presente en la doble hélice del ADN; base de la vida orgánica. La espiral de la molécula de ADN mide 34 angstroms de largo por 21 angstroms de ancho para cada ciclo de la doble hélice (34 y 21 son números de la Serie de Fibonacci, y su razón es 34/21=1.618):

Esta configuración espiral está también presente en muchas galaxias, las llamadas, precisamente, galaxias espirales:

La forma de la espiral, usada también en tecnología, permite por ejemplo la inducción eléctrica. Un inductor eléctrico o bobina no es más que una espiral de alambre de cobre alrededor de un núcleo de hierro; cuando un cambio de corriente inesperado llega a la bobina, esta, que almacena energía en forma de un campo magnético, se opone a este cambio de corriente e induce un voltaje que se opone al que se aplica. Esto permite que el sistema mantenga su condición normal, a pesar del cambio de corriente:

El número de oro en la Naturaleza
Hecha por un artista de primerísimo orden, la Naturaleza, creada por Dios, manifiesta por doquier el número de oro; como si hubiera sido diseñada mediante armonía matemática:
Existen cristales de Pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos perfectos.

La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal. Divídase el número de hembras entre el de machos, y se obtendrá 1.618.

Para que las hojas esparcidas de una planta o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º 30' 28" en el mejor de los casos. Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico. En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci.

Flores de distintas especies presentan en su número de pétalos, la Serie de Fibonacci, lo que equivale, como sabemos, a presentar la Proporción Dorada:

Y como comentamos arriba, aparece también mediante espirales cruzadas en las piñas coníferas o en los girasoles:

También sabemos que la Anatomía de los humanos se basa en una relación Φ estadística y aproximada, así vemos la Proporción dorada entre:
La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ.
La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz.
Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar.
Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).

Imagen Divina con Proporción Divina

El mismo pincel que trazó la Naturaleza, trazó también la Imagen Guadalupana. En ella, impresa milagrosamente por designio de Dios mismo, encontramos la Proporción Dorada o Áurea del mismo modo que se encuentra en la Naturaleza. Si artistas humanos, como Boticelli y Leonardo supieron captar y plasmar en sus obras la Divina Proporción, el ilustre tlacuilo que pintó a la Guadalupana no se podía quedar atrás.

Las observaciones de Miguel Cabrera
Ya hablamos del examen de este ilustre pintor, el más famoso del México Colonial, quien hizo un análisis pericial a la Imagen Guadalupana en 1751.[Ver aquí] Cabrera puso por escrito sus observaciones en un libro llamado Maravilla Americana, publicado en 1756, y dedica un capítulo, el IV, al Maravilloso dibujo de Nuestra Señora de Guadalupe. Indiscutible maestro de arte, Cabrera notó la armonía y simetría de la Guadalupana, diciéndolo de esta manera:

"Su bellísima y agraciada simetría, la ajustada correspondencia del todo con las partes y de éstas con el todo, es maravilla que asombra cuantos medianamente instruidos en el dibujo la perciben. No tiene contorno ni dintorno que no sea un milagro; como que está latiendo en este admirable dibujo la soberanía de su autor."

Líneas más adelante, Cabrera proporciona las medidas del ayate, en el capítulo VIII titulado Diseño de la milagrosa imagen de Nuestra Señora de Guadalupe. Nota:, Cabrera mide en el sistema antiguo de "varas" y fracciones, por lo que sus medidas, al no estar dadas en el Sistema Métrico Decimal, no son tan exactas como las podemos medir hoy, sin embargo, notaremos la aproximación a la Proporción Dorada con las que dio Cabrera:

"Tiene pues, el portentoso lienzo en toda su altura dos varas y un dozavo; y de ancho poco más de vara y cuarta; y este alto y ancho hacen los dos lienzos añadidos de que se compone. Quédale la costura perpendicular, sin tocar al bellísimo rostro; están cosidas las dos piernas o lienzos de la venturosa tilma con aquel frágil hilo de algodón de que hablé en el parágrafo primero"

Con números, sin embargo, se suple esta deficiencia del sistema, y midamos, pues, en varas y fracciones:
Altura: 2 varas y 1 dozavo, o sea 2+(1/12)=2.0833
Anchura: 1 vara y cuarta, o sea 1+(1/4)=1.25
Y la razón de dividir la mayor entre la menor es: 2.0833/1.25=1.66664, que, como se puede ver, sin ser el número de oro (1.618033), se le aproxima bastante. La razón de que no dé el número de oro es, ya lo dijimos, la leve inexactitud que conlleva el sistema de medición antiguo.

Las observaciones del Dr. Hernández Illescas
En 1999 el Centro de Estudios Guadalupanos publicó el libro La Virgen de Guadalupe y la Proporción Dorada, del Dr. Juan Homero Hernández Illescas, quien estudia por primera vez este asunto. El contador Fernando Ojeda Llanes hizo después unos comentarios ampliando los del Dr. Illescas, y es al contador Ojeda a quien yo sigo en esta parte.

El Dr. Illescas proporciona las medidas del ayate del siguiente modo: Altura 1.70 metros y Base 1.05 metros.
Estas medidas tienen Proporción Dorada, pues 1.70/1.05=1.619, donde nuevamente resulta aproximado, pues las medidas del ayate que manejamos están limitadas a las centésimas. Una medición más estricta se aproximaría más. Vienen ahora las imágenes proporcionadas por el contador Ojeda para ilustrar este tema:

Las medidas están reducidas en escala de 11.5, en centímetros, de ahí la base de 9.5 cm. y la altura de 15.371 cm. Esta imagen es simplemente una construcción de rectángulos y cuadrados áureos en el interior de la imagen, resultando un cuadrado final que enmarca la flor nahui ollin, que como explicamos en la Parte 1, representa a Dios mismo.

Siguiendo las líneas de los rectángulos áureos interiores, se traza un triángulo pitagórico, cuyo centro coincide, al igual que en el caso anterior, con el nahui ollin dibujado sobre la túnica de la Virgen.

Con las medidas resultantes de su escala, el contador Ojeda divide la imagen en trazos que siguen la Serie de Fibonacci, con números equivalentes a los de la Serie real: 1.386, 2.242, 3.628, 5.869...
Conclusiones:
Mi conclusión en esta segunda parte no difiere de la que puse al final de la primera parte: Desde el punto de vista de las reglas del arte, la Imagen Guadalupana está bien proporcionada, armónica, y es, por lo tanto, una auténtica obra de arte. Interesante sería ver qué responden a esto algunos pobres ignorantes (y tuve ocasión de debatir con algunos), que sin mayor trámite calificaban de pintura "mal hecha" a la Guadalupana... y no me hagan caso a mi, si gustan, pero por lo menos háganselo al pintor Cabrera, quien sin llegarle a los talones al Divino Tlacuilo, tiene un muy buen nivel entre los artistas humanos.